++ GLOSARIO: Paradoja de las ruedas de Aristóteles

Fuente: Ecos del futuro

La diferencia entre las matemáticas y la física

de Ecos del futuro

Decía Richard Feynman que "La Física es a las Matemáticas lo que el sexo es a la masturbación". Quizás no haya mejor ejemplo de ello que la paradoja de las ruedas de Aristóteles (popularizada por Galileo en losDiscorsi)

Como podemos apreciar en la animación, el círculo exterior e interior recorren la misma distancia a pesar de tener diámetros diferentes --y por tanto longitudes de circunferencia diferentes--. Desde el punto de vista físico, ¿cómo es posible?

Matemáticamente existe una correspondencia entre los puntos del círculo interior y exterior. ¿Cómo puede existir dicha correspondencia si tienen diámetros distintos?

Explicaciones

Defínase "recorrido del círculo". Lógicamente, al cabo de un número entero de vueltas, cada punto estará desplazado en el eje x 2·pi·(radio de la circunferencia que RDS*, en este caso la exterior), pero ello no quiere decir que ese punto haya recorrido esa distancia, puesto que el auténtico recorrido del punto es por la cicloide correspondiente (en la rueda que RDS) o la pseudo-cicloide correpondiente (las demás ruedas).

La clave de la ilusión es que parece que ambas ruedas giran sin deslizar, pero precisamente porque ambas circunferencias tienen distinto diámetro sólo es posible que una de ellas ruede sin deslizar, mientras que la otra tiene que deslizar. Es decir, en un mundo con rozamiento infinito, este conjunto no podría rodar, mientras que una rueda sola sí podría.

* "rueda sin deslizar", expresión clásica en exámenes sobre la física del sólido rígido.

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Pero que exista correspondencia uno-a-uno entre los puntos de dos segmentos no quiere decir que sean de la misma longitud, sólo que su cardinalidad es la misma (para el caso de cualquier segmento en el plano real, la misma que la de la recta real: http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality_of_the_continuum )

Es decir, cualquier curva en el plano real se puede parametrizar y hacer correspondiente uno-a-uno con otra cualquiera, vía el parámetro.

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Dos imágenes que pueden servir de ayuda. La trayectoria de un punto de la circunferencia del disco exterior describe una cicloide --probablemente la curva más interesante de la historia-- 

Mientras que un punto interior (de la circunferencia de la rueda chica) describe una cicloide acortada