+ GLOSARIO: La criba de Eratóstenes / La criba de la parábola

Fuente: Gaussianos

La sorprendente criba de la parábola

La criba de Eratóstenes es un método muy conocido para hallar los números primos menores que un cierto número K dado inicialmente. Su funcionamiento es muy sencillo:

Se comienza escribiendo los números desde el 2 hasta K. Se marca el 2 como número primo y a continuación se tachan todos los múltiplos de 2. Después se marca como primo el primer número no tachado que nos encontremos, el 3 en este caso, y se tachan todos los múltiplos de éste que no estuvieran tachados ya. Y así sucesivamente. Los números marcados son exactamente todos los números primos que hay entre 2 y K.

En la Wikipedia podéis encontrar algo más de información al respecto.
Pero esta criba no es ni mucho menos el único método de este tipo para encontrar los números primos más pequeños que un número dado. Existen otros métodos aritméticos, aunque es cierto que en ocasiones se tratan de variantes de la criba de Eratóstenes. Pero existe uno geométrico muy curioso e interesante, del cual vamos a hablar, que podemos denominar la criba de la parábola.

Los creadores de esta criba de la parábola fueron los matemáticos rusos Yuri Matiyasevich y Boris Stechkin, y el funcionamiento de la misma es el siguiente:
Representamos gráficamente una parábola cuyo eje sea el eje X, nos puede valer:

Para cada número natural del 2 en adelante que sea un cuadrado perfecto (4, 9, 16, 25,…) marcamos los puntos en los que la recta perpendicular al eje X que pasa por él corta a la parábola. Hay uno por encima del eje X y otro por debajo:

Ahora unimos todos los puntos que han quedado marcados por encima del eje X con todos los de abajo, quedando algo parecido a esto:

Faltan muchos segmentos, pero nos puede servir. ¿Os habéis fijado en que son muchos los números enteros positivos por los que pasa algún segmento? ¿Y en que hay unos cuantos para los que eso no pasa? Vaya, y son…¡¡los números primos!! Exacto, en la imagen podemos ver que los únicos por los que no pasa ningún segmento son el 2, el 3, el 5, el 7, el 11, el 13, el 17 y el 19:

Curioso, ¿verdad?
Cierto es que, como hemos dicho antes, faltan muchos segmentos por dibujar, por lo que podríamos pensar que en algún momento dibujaremos un segmento que pase por alguno de esos números primos, o por cualquier otro número primo mayor. Pero el caso es que esto no es así. Es decir, si dibujáramos todos los segmentos de la forma descrita anteriormente se cumpliría que los únicos números enteros positivos por los que no pasa ningún segmento son exactamente los números primos, ni uno más ni uno menos. En esta imagen, tomada de la web del propio Matiyasevich, quizás se vea más claro:

Supongo que más de uno estará pensando ahora mismo que estamos hablando de matemáticas y que si esto es así debe haber alguna forma de demostrarlo, ¿verdad? Pues sí, evidentemente la hay:

Llamemos a los puntos marcados por encima del eje X y a los de abajo, con . Toda recta que une un con un es:

1. , si ;
2. , si (¿por qué?)

Si llamamos al punto de intersección de un segmento con el eje X pueden pasar dos cosas:

1. Si , entonces las coordenadas de son ;
2. Si , teniendo en cuenta que la ordenada de es cero, se tiene que sus coordenadas también son .

Por tanto, los segmentos cortan en todos los puntos de la forma , esto es, en los puntos cuya primera coordenada es un producto de dos números enteros positivos mayores o iguales que 2 y solamente en ellos, que evidentemente no son números primos. Como los números primos no pueden escribirse como el producto de dos enteros positivos mayores o iguales que 2 tenemos que ellos son los únicos por los que no pasa ninguno de estos segmentos.

No sé a vosotros, pero a mí me fascinó esta criba desde la primera vez que la vi.
Y para terminar, comentar que este tal Yuri Matiyasevich no es un cualquiera. Es ni más ni menos que quien se cargó el décimo problema de Hilbert, relacionado con ecuaciones diofánticas, dando una respuesta negativa al mismo. En su propia página podéis encontrar información sobre el tema enReduction of an arbitrary Diophantine equation to one in 13 unknowns y My collaboration with Julia Robinson.
Tuve conocimiento de esta sorprendente criba al leer el libro Los números primos, de Enrique Gracián. Después también lo vi en Mujeres y matemáticas, de Joaquín Navarro. La demostración la he tomado deeste post de Blogdemaths (en francés).

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