* 1202 Publicación del libro "El Liber abacci" de Fibonacci. Evolución del lenguaje matemático

Fuente: Experiencia Docet

El Liber abacci (1202) de Fibonacci probablemente tenga uno de los comienzos más revolucionarios de la historia de la ciencia. Comienza tal que así:

“Hay nueve figuras de los indios: 9,8,7,6,5,4,3,2,1. Con estas nueve figuras, y con el signo 0 que en árabe se llama zephirum, se puede escribir cualquier número, como se demostrará.”

Los siguientes 7 capítulos del libro (de un total de 15) se dedican a explicar cómo usar y realizar operaciones con estos nuevos numerales.

Fibonacci aporta un avance fundamental, como vemos, que facilita la aritmética enormemente. Pero sigue habiendo limitaciones importantes. Fibonacci usa un sistema sexagesimal para expresar sus resultados. La fundamental, sin embargo, es que para incógnitas y operaciones Fibonacci también sigue a los musulmanes aunque traduciéndolos al latín italianizado. Así aparecen radix (raíz), res/causa/cosa (para la incógnita), census (propiedad, para el cuadrado), o cubus (cubo). Los problemas se siguen expresando literariamente.

Los desarrollos son muy lentos y, si bien los nuevos numerales indo-arábigos se popularizan rápidamente, hay que esperar hasta 1494, a la Summa de Luca Pacioli, para registrar un nuevo avance, que parece un retroceso. Pacioli vuelve a un sistema parecido al que Diofanto usó más de mil doscientos años antes, usando los numerales de Fibonacci y expresando la incógnita como co, su cuadrado como ce y el cubo como cu, simples abreviaturas de los nombres italianos.

Se producen algunos avances menores más, pero el sistema de Pacioli es tan eficaz para el uso habitual que será necesaria una crisis matemática para provocar el siguiente paso adelante en la notación simbólica. Y esa crisis será la resolución de la ecuación cúbica.

Diofanto y Cardano ya asumían la existencia “operativa” de los números negativos. Cardano atribuía la misma operatividad de facto a los complejos, pero para Rafael Bombelli que atacaba la resolución de ecuaciones cúbicas irreducibles y llegó a dar reglas de signos para la operación con números complejos, la notación disponible era una tortura. Bombelli se ve forzado a la introducción del corchete en su obra l'Algebra (1572):

Multiplichisi, R.c.[2 più di meno R.q.3] per R.c. [2 meno di meno R.q.3]

donde R.q. y R.c. son, respectivamente, la raíz cuadrada y la raíz cúbica.

El simbolismo moderno estaba a punto de surgir de pura necesidad. Los avances en trigonometría y sobre todo en álgebra requerían una forma más racional de expresar ideas matemáticas. Y este avance se dio en dos pasos gigantescos. Pero esos pasos se darían en Francia, que se convertiría en los siguientes siglos en el centro de las matemáticas.

El primero lo supuso la publicación de De artem analyticem isagoge en 1591 por parte de François Viète. En honor a la verdad, este libro fue un gran paso adelante y uno pequeño hacia atrás. Adelante porque en él se emplean de forma sistemática letras para representar números. Si bien esta idea se puede remontar a Diofanto, Viète va más allá y distingue rangos de letras y sus aplicaciones. Las cantidades podían ser de dos clases: “cosas buscadas” (quaesita) y “cosas conocidas” (data). Las incógnitas se escribían usando vocales mayúsculas A,E,I,O,U,Y y las constantes con consonantes también mayúsculas B,C,D,F,... Por ejemplo, en simbolismo de Viète la ecuación

bx2+dx = z

pasa a ser

B in A quadrum, plus D plano in A, aequari Z solido

Este ejemplo también ilustra el paso atrás que mencionábamos antes, que es un retorno a la geometría que se expresa a través de la “ley de homogeneidad”, según la que todos los términos de la ecuación deben tener las mismas dimensiones. Como bx2 tiene tres dimensiones, dx también debe tenerlas (de ahí lo de D plano) al igual que z. Esto hace la notación tediosa y aparentemente poco operativa, si bien Viète manejaba polinomios de grado 45 con soltura.

Y entonces llegó La géométrie de René Descartes en 1637. Este libro es el primero que se lee como un texto moderno de matemáticas. Descartes toma todos los conocimientos existentes sobre simbolismo matemático, los simplifica, los racionaliza y los emplea en un libro que marca el comienzo de la geometría algebraica. Sólo dos cosas importantes están ausentes: el signo = para la igualdad y, paradójicamente, los ejes cartesianos, y es que Descartes no veía la necesidad de que los ejes estuviesen a 90 grados.

En La géométrie las letras minúsculas del comienzo del alfabeto representan datos conocidos, y las letras del final del alfabeto las incógnitas buscadas. La x se convirtió en la representación de la incógnita por antonomasia porque Descartes le dio libertad a su impresor de usar la letra del final del alfabeto que más le conviniera, eligiendo éste la x porque es la que menos uso tiene en francés.

A partir de este momento se produce una triple revolución en las matemáticas: la generalización de la impresión de libros, el uso de un simbolismo potentísimo y la posibilidad de reducir la geometría a álgebra supondrán un florecimiento tal, que en sólo cincuenta años después de La géométrie se publicaba, por ejemplo, los Principia mathematica de Newton.

La historia aquí presentada es muy esquemática y existen matizaciones y adiciones muy interesantes que se podrían hacer. Pero me temo que quedarán para otras entradas.